Пример 1. Вычислить
площадь фигуры, ограниченной прямыми х=0, х=2 и кривыми у=2х , у=2х–х2
Пример
2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной
параболами х = –2у2, х=1–3у2
Пример
3. Найти площадь фигуры, заключенной
между параболой х2=4у и локоном Аньези : 
.
Пример
1.4. Вычислить площадь фигуры,
лежащей в первой четверти внутри круга 
и ограниченной параболами 
и 
Пример
1.5. Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями 
и осью
Ох.
Пример 1.6. Найти
площадь сегмента, отсекаемого от кривой 
хордой 
.
Пример
1.7. Найти площадь фигуры, ограниченной
двумя ветвями кривой 
и прямой
.
Пример
1.8. Вычислить площадь петли
кривой 
.
Пример
1.9. Найти площадь между параболой
, касательной к ней в точке М(2,–5) и осью
ординат.
Пример1.10. Найти
площади фигур, ограниченных окружностью 
и параболой 
Вычисление
площадей фигур при параметрическом задании границы (контура)
Если граница фигуры задана параметрическими уравнениями 
, 
,то площадь фигуры вычисляется по одной из трех формул
:
;
; 
где 
и 
- значения параметра 
, соответствующие началу и концу
обхода контура в положительном направлении (при ко-тором фигура остается слева).
Пример
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
эл-липсом 
, 
Пример 2.Найти
площадь астроиды 
Пример 3. Найти
площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды 
,
и осью 
Пример 2. Найти площадь
астроиды
Р е ш е н и е. Запишем уравнение
астроиды в параметрическом виде 
,
, 
. Здесь тоже удобно вычислить сначала
.
Отсюда 
.
Пример
3. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды ,
и осью .
Р е ш е н и е. Здесь граница
фигуры состоит из дуги циклоиды
и отрезка оси 
. Применим формулу 
. Так как на отрезке оси имеем 
то остается вычислить интеграл (с учетом направления
обхода границы):
Пример
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
кривой 
, 
.
Искусство Возрождения в Италии Проторенессанс
Скульптор Джованни Пизано
Искусство Возрождения в Италии Фреска
Томмазо Мазаччо "Изгнание Адама и Евы из рая
Пример 5. Найти
площадь петли кривой:
; 
Пример 6. Вычислить
площадь, содержащуюся внутри кардиоиды: 
; 
Площадь
в полярных координатах
В полярных координатах площадь сектора, ограниченного
дугой кривой 
и лучами 
и 
, выражается интегралом 
Пример 1.
Найти площадь фигуры, лежащей в первой четверти и ограниченной параболой 
и прямыми 
и 
.
Пример
2. Найти площадь фигуры, лежащей
вне круга 
и ограниченной
кривой 
.
Пример
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
окружностями 
и 
.
Пример 4 . Найти площадь фигуры,
вырезаемой окружностью 
из
кардиоиды 
(рис.3.4).
Пример 5. Найти площадь петли декартова
листа 
.
Вычисление
объема тела
Объем тела выражается интегралом
.где
- площадь сечения тела плоскостью,
перпендикулярной к оси Ох в точке с абсциссой х , а н b - левая и правая границы
изменения х. Функция S(x) предполагается известной и непрерывно меняющейся при
изменении х от a до b.Объем 
тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной
кривой 
, осью абсцисс и прямыми
и 
, выражается интегралом
Объем
тела образованного вращением вокруг оси Ох фигуры,
ограниченной кривыми 
и 
и прямыми , 
выражается интегралом 
.Если
кривая задана параметрически или в полярных координатах, то следует сделать соответствующую
замену переменной в указанных формулах.
Пример
1. Определить объем
эллипсоида
Дифференциальные
уравнения
Пример 2. Оси
двух одинаковых цилиндров с радиусами основания равными 
, пересекаются под прямым углом. Найти объем тела, составляющего общую часть этих
двух цилиндров.
Пример 3.
На всех хордах круга радиуса R, параллельных одному направлению, построены симметричные
параболические сегменты постоянной высоты h. Плоскости сегментов перпендикулярны
к плоскости круга.
Пример 4. Вычислить
объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох площади, ограниченной осями
координат
Пример
5. Фигура, ограниченная
дугой синусоиды 
, осью ординат и прямой 
, вращается вокруг оси Оу . Определить
объем V получающегося тела вращения.
Пример
6. Вычислить объем тела, образованного
вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой 
и прямой 
Пример 7.
Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной
параболами 
и 
Пример 8.
Найти объем тела, образованного вращением вокруг прямой 
фигуры, ограниченной параболой
и прямой
Пример
9. Найти объем тела, полученного
вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной астроидой: ;
Пример
10. Вычислить объем
тела, которое получается от вращения кардиоиды 
,
вокруг полярной оси.
Вычисление
длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах
Если
плоская кривая задана уравнением 
и производная 
непрерывна, то длина дуги этой кривой выражается интегралом:
.где
а и b — абсциссы концов данной дуги.
Пример
1. Вычислить длину дуги полукубической
параболы 
заключенной между
точками (0, 0) и (4, 8)
Пример 2. Вычислить
длину дуги кривой 
, заключенной между точками с абсциссами
, 
.
Пример 3.
Вычислить длину дуги кривой 
, заключенной между точками с ординатами и 
.
Пример
4. Вычислить длину дуги астроиды
.
Пример
5. Вычислить длину дуги кривой ОАВСО,
состоящей из участков кривых 
и 
Вычисление
длин дуг кривых, заданных параметрически
Если
кривая задана уравнениями в параметрической форме ,
и производные 
, 
непрерывны на отрезке [
, 
] , то длина дуги кривой выражается
интегралом
.где
и — значения параметра , соответствующие концам дуги (<).
Пример 1. Вычислить
длину дуги развертки круга 
, 
от 
до 
.
Пример 2.
Вычислить длину астроиды:, .
Пример
3.Вычислить длину дуги эллипса 
.
. В (3, 0).
