Предел функции примеры решения задач


Вычислить тройной интеграл Изображение объектов трехмерного пространства Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле Интегрирование по части области Абстракция и инкапсуляция

Primmat.ru

Инженерная графика
Начертательная геометрия

Методы проецирования

Поверхности

Преобразование чертежа

Позиционные задачи

Ядерная физика, задачи
Графические методы решения задач

Свойства ядер, модели

Реакции ядра, частицы

Структура ядра

Капельная модель ядра

Деление ядер

Нейтронная физика
История создания атомного и термоядерного оружия

Законы радиоактивного распада
Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты

Энергия распада
Энтропия

Взаимодействие нейтронов с ядрами

Задачи на ядерные реакции

Деление и синтез ядер

Сборник примеров и задач

Законы сохранения и взаимодействия

Электростатика

Электромагнитное взаимодействие

Электростатическом поле

Физика справочник

Термодинамика

СИ Частотный спектр

Кинематика

Электpостатика

Волновая оптика

Динамика
Инструмент Paintbrush (Кисть)

Молекулярное строение

Электрическое поле

Радиоактивность

Геометрическая оптика

Квантовая механика

Электромагнитное поле

Оптика

Механика

Физические константы

Тепловое излучение

Прикладная математика и физика

Электромагнитное взаимодействие

Закон Кулона

Фотоэлектрический эффект

Электромагнетизм

Электромагнетизм

Электричество

Атомная физика

Математика

Нахождение дифференциала
Вычисление двойного интеграла

Интегрирование тригонометрических функций
Вычислить работу векторного поля
Одночлены и многочлены

Интегральное исчисление

Применение интегралов

Дифференциальные уравнения

Вычисление интегралов

Неопределенный интеграл

Несобственные интегралы

Вычисление объема тела

Вычисление длин дуг

Вычисление площадей фигур

Площадь в полярных координатах

Площадь в декартовых координатах

Кратные интегралы

Методы интегрирования

Первообразная, производная

Формула замены

Определенные интегралы

Степенные ряды

Решение дифф. уравнения

Линейные дифф.уравнения

Дифференциал задачи

Комплексные числа

Матрицы

Векторная алгебра

Предел функции

Исследования функции

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Общие свойства пределов

Построение графика

Матрицы свойства решения

Производная функции

Свойства комплексных чисел

Асимптоты графика функции

Монотонные последовательности

Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность {x_n} =
Левицкий сначала учился на родине, в Киеве, у А. П. Антропова, а затем в Петербурге. Настоящий успех и звание академика принёс ему парадный портрет архитектора А. Ф. Кокоринова (1769—1770 гг.). Его герой воплощает идеал эпохи Просвещения: это творческая личность, человек, осознающий свой долг и своё положение. Он мягким, но величественным жестом указывает на лежащий перед ним план здания Академии художеств, одним из авторов которого был. «Портрет П. А. Демидова»
Доказать, что последовательность {x_n}= монотонная возрастающая. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования
Бесконечно малые функции
Панель инструментов ArchiCAD программа архитектурного проектирования программы Электродвижущая сила Постоянный электрический ток

Функция f(x) = xⁿ является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к. .
Найти предел
Найти предел
Некоторые замечательные пределы Найти предел

.

Непрерывность функции в точке

Функция f(x) = имеет в точке х₀ = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к..
f(x) =

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.
Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей

Найти предел

Неопределённый, определенный и несобственный интеграл

Определение первообразной и её свойства Пусть функция задана на некотором интервале $(a;b)\sbs\mathbb{R}$ . Если найдётся такая функция , что при всех ${x\in(a;b)}$ имеет место равенство

$\displaystyle F'(x)=f(x),$
то функция называется первообразной для функции .
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов
Свойства неопределённого интеграла
О "неберущихся" интегралах
Приближённое нахождение первообразных

Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен. Рассмотрим интегралы, подынтегральная функция в которых содержит квадратный трёхчлен , где $a\ne0,\ b,\ c$ -- некоторые постоянные, вида

$\displaystyle \int\frac{Mx+N}{ax^2+bx+c}dx$ и $\displaystyle \int\frac{Mx+N}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx.$
(Заметим, что в числителе дроби должно стоять линейное выражение , где и -- постоянные; при этом какой-либо из постоянных не запрещается быть равной 0.)
Формула понижения степени
Рациональные функции и их интегрирование
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций
Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от и $\sqrt{ax^2+bx+c}$

Определённый интеграл и его свойства

Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции Рассмотрим задачу о нахождении площади плоской области $\mathcal{D}$ , ограниченной на координатной плоскости отрезком оси , графиком непрерывной функции , заданной на отрезке , и двумя отрезками вертикальных прямых и , соединяющими точки оси с точками графика
Свойства определённого интеграла
Интеграл с переменным верхним пределом
Определённый интеграл при произвольном соотношении между нижним и верхним пределами
Некоторые приёмы нахождения определённых интегралов
Проверка геометрического смысла интеграла при подсчёте площади части круга Напомним, что выше мы проверили, что формула

$\displaystyle S=\int_a^bf(x)\;dx$
действительно даёт площадь трапеции, давно нам известную в том случае, когда линия -- прямая. Мы заметили, что надо еще проверить, что эта формула не противоречит другому издавна известному нам случаю площади: когда линия -- часть окружности, то эту площадь можно подсчитать, исходя из формулы для площади круга (напомним, она равна $\pi R^2$ для круга радиуса
Несобственные и определенные интегралы
Несобственные интегралы

Несобственные интегралы первого рода
Свойства несобственных интегралов первого рода
Несобственные интегралы второго рода
Свойства несобственных интегралов второго рода
Несобственные интегралы с несколькими особенностями Рассмотрим функцию и такой промежуток $J\sbs\mathbb{R}$ , на котором имеет несколько особенностей. Будем считать, что особенности имеются в тех точках промежутка, при приближении к которым функция имеет неинтегрируемые разрывы¹¹, а также в $-\infty$ и $+\infty$ , если они являются концами рассматриваемого промежутка .

Приближённое вычисление определённых интегралов

Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников Самый простой метод приближённого вычисления площадей узких полосок -- заменить их площадями прямоугольников, основанием которых служит отрезок $[x_{i-1};x_i]$ на оси , а высотой -- отрезок, задающий значение функции в одном из концов основания, то есть либо в точке $x_{i-1}$ , либо в точке . Тогда в первом случае площадь равняется $f(x_{i-1})(x_i-x_{i-1})$ , а во втором $S_i=f(x_i)(x_i-x_{i-1})$ .
Квадратурная формула центральных прямоугольников
Квадратурная формула трапеций
Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников
Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)
Квадратурные формулы более высокого порядка точности
Практическая оценка погрешности при применении квадратурных формул

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям

Площадь области, лежащей между двумя графиками Пусть и -- две непрерывные функции, заданные на отрезке , причём $f(x)\leqslant g(x)$ при всех $x\in[a;b]$ . Между графиками и лежит область $\mathcal{D}$ , с боков ограниченная отрезками прямых и .
Площадь в полярных координатах
Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений
Вычисление длины плоской линии
Площадь поверхности вращения Рассмотрим линию в плоскости , представленную как график функции на отрезке оси . Предположим, что функция имеет на отрезке непрерывную производную .
Пусть поверхность получена как результат вращения в пространстве линии вокруг оси (см. рис.). Наша цель -- найти площадь поверхности вращения (сделанное построение и полученная при этом формула будут одновременно служить и определением того, что такое площадь поверхности ).

Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Открытые и замкнутые области в $\mathbb{R}^n$ Определение 7.1 Функцией нескольких переменных будем называть любую функцию с вешественными значениями, область определения которой $\mathcal{D}=\mathcal{D}(f)$ -- подмножество -мерного пространства $\mathbb{R}^n$ , $n\geqslant 2$ . Таким образом,

$\displaystyle f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}$ --
это функция, аргументами которой служат точки
Связные множества
График функции нескольких переменных
Пределы функций нескольких переменных
Непрерывность функции
Ограничения функции на данное множество
Свойства функций, непрерывных в области
Частные производные
Частные производные высших порядков
Дифференцируемость функции и дифференциал
Связь дифференциала с частными производными
Производная сложной функции
Пусть ${\omega}$ -- область в $\mathbb{R}^m$ , в которой заданы функций , $u\in{\omega}$ . Предположим, что все значения вектор-функции

$\displaystyle x=g(u)=(g_1(u);\dots;g_n(u))$
лежат в области ${\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ , в которой задана функция . Тогда можно определить композицию (или сложную функцию) $h=f\circ g$ :
Инвариантность дифференциала
Равенство смешанных частных производных
Теорема о неявной функции
Производные неявно заданной функции
Выпуклые множества и функции
Касательная плоскость к графику функции
Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Градиент и производная по направлению

Определение градиента и стационарных точек функции Определение 8.1 Вектор, компонентами которого служат значения частных производных, то есть вектор

$\displaystyle g(x^0)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x);\dots;\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)\Bigr),$
называется градиентом функции , вычисленным в точке . Градиент обозначается также $(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ и $(\nabla f)(x^0)$ .
Производная по направлению
Свойства градиента и производной по направлению

Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Вывод формулы Тейлора Предположим, что в рассматриваемой области ${\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ функция имеет все частные производные до порядка включительно. Рассмотрим прямую $\ell$ , соединяющую фиксированную внутреннюю точку $x^0\in{\Omega}$ с произвольной точкой $x\in{\Omega}$ и будем предполагать, что все точки отрезка, соединяющего с , также принадлежат ${\Omega}$ :

$\displaystyle x^t=x^0+t(x-x^0)\in{\Omega}$ при $\displaystyle t\in[0;1].$
Матрица Гессе